„Hvernig er hægt að stunda rannsóknir í stærðfræði?“ spurði blaðamaður tvo mikla fræðimenn í viðtali þar sem höfundur þessarar greinar var viðstaddur. „Það er búið að reikna allt í margföldunartöflunni.“ Með því lítillæti sem einkennir þá sem lengst hafa náð í vísindum leiddu viðmælendurnir spurninguna hjá sér og reyndu að láta lítið bera á brosinu. Enda var spurningin alls ekki kjánaleg í ljósi þess að blaðamaðurinn hafði aldrei lagt stund á stærðfræði umfram litlu margföldunartöfluna. Og honum var ljóst að hún var fulleyst þannig að frekari athugana var ekki þörf. Nemendur í upphafi háskólanáms í stærðfræði hafa enga yfirsýn yfir greinina, en þeir geta huggað sig við það að það hafa flestir kennarar þeirra ekki heldur, þótt þeirri vankunnáttu sé yfirleitt ekki flíkað. Með þessu er engan veginn dregið úr snilli kennaranna, stærðfræðin er einfaldlega orðin gríðarstórt fag.

Það blundar í mörgum landkönnuður. Menn vildu gjarnan reika um ókunna stigu og verða fyrstir til að kortleggja svæði sem enginn hefur komið á áður. En því miður er það svo að á flesta afkima heimsins hefur einhver stigið áður þannig að úr því sem komið er verða menn ekki fyrstir þangað. Það sama gildir í vísindum. Vissulega er gaman að uppgötva eitthvað sem maður vissi ekki sjálfur áður, en það er ennþá skemmtilegra að finna eitthvað sem enginn vissi áður. En hvernig getum við, sem kannski getum leyst einhverjar þrautir sem fyrir okkur eru lagðar, spurt spurninga sem enginn hefur gert áður og svarað þeim rétt? Og það sem meira er, hvers virði er sú þekking sem yrði þannig til fyrir okkar tilverknað?

Sjálfur ákvað ég á þriðja ári í menntaskóla að leggja stund á stærðfræði í háskóla. Hún hafði alltaf legið ágætlega fyrir mér þrátt fyrir að ég hefði með góðum stuðningi kennara reynt að bæla áhugann niður fyrstu menntaskólaárin. Á því stigi efast ég um að ég hafi mikið verið að velta fyrir mér hvert framlag mitt yrði til rannsókna. En það var fljótlega eftir að ég kom í háskóla sem ég fann að ég hefði áhuga á að gera stærðfræðilíkön sem gætu lýst raunveruleikanum á ýmsum sviðum. Þegar lengra dregur í háskólanámi er mönnum hins vegar ýtt meira og meira í átt að rannsóknum enda er það beinlínis tilgangur doktorsnáms að gera úr nemendum vísindamenn. Fyrir hverja merka uppgötvun eru hundrað, eða kannski þúsund, ómerkilegar. Langflestir, jafnvel miklir hæfileikamenn, skilja ekkert eftir sig sem miklu máli skiptir. Grunnrannsóknir eru þó nauðsynlegar, en það er mikilvægt fyrir fyrir þá sem hyggjast hasla sér völl á því sviði, að vita hvort þeir eiga einhverja möguleika á því að finna eitthvað sem er þess virði að eyða í það stórum hluta af ævinni. Hér á eftir segi ég svolítið frá minni litlu reynslu á þessu sviði. Niðurstaða mín er sú að flestir þeir sem hafi nægilega hæfileika til þess að ljúka háskólanámi í stærðfræði geti líka lagt eitthvað merkilegt af mörkum til rannsókna. Til þess þarf ákveðna heppni en líka hæfilega framhleypni. Svo mega menn ekki vera of viðkvæmir þó ekki vinnist allar orustur í fyrsta áhlaupi.

Það er veggspjald uppi á vegg á skrifstofunni hjá mér sem segir: „Do not worry about your difficulties in mathematics; I can assure you that mine are still greater.“ Mér þykir vænt um þetta spjald, en sá sem svo mælir er Albert Einstein. Alltaf finnst mér eins og hann hafi meint þetta beint til mín. En margur kolleginn myndi eflaust segja: Jú, en Einstein var bara eðlisfræðingur.

Er tími snillinganna liðinn?

Einn meginkosturinn við það að lifa á okkar dögum er að stærstur hlutinn af þeirri þekkingu sem mannkynið hefur aflað sér er okkur aðgengilegur. Þetta hefur reyndar ekki alltaf verið svo, því að slakar samgöngur og lítið upplýsingastreymi hindruðu þekkinguna í því að flæða manna á milli líkt og nú. Þeir sem leggja stund á stærðfræði undrast oft afrek nokkurra jöfra í mannkynssögunni. Nefnum tvo til að byrja með: Newton, sem lagði grunn að stærðfræðigreiningunni og Gauss, sem kom við í nær öllum stærðfræðigreinum en er e.t.v. þekktastur fyrir normaldreifinguna, sem kynnt er í sérhverju byrjendanámskeiði í tölfræði. Önnur nöfn sem ber fyrir augu flestra verkfræðideildarstúdenta eru Pascal, Descartes og Laplace. Þeir sem ætla að leggja fyrir sig rannsóknir gætu viljað líta til gömlu meistaranna, enda eru þeir þekktar fyrirmyndir. Ef til vill er það ekki mjög uppörvandi. Hver verður ekki smár í samanburði við menn eins og Newton sem var í fremstu röð í öllum svonefndum raunvísindum á sínum tíma (og hér lítum við framhjá því að stærðfræðin er í raun hrein hugvísindi)? Við skulum ekki gera lítið úr snilli Newtons, en um leið megum við ekki gleyma því að á sama tíma og hann var að finna upp diffur- og tegurreikninginn var Leibnitz að gera það sama í Þýskalandi. Leiðum hjá okkur aldagamlar deilur um hugmyndastuld og einbeitum okkur að merg málsins. Stærðfræðigreiningin hefði verið fundin upp jafnvel þótt hvorugur þeirra félaga hefði orðið til þess. Tími hennar var kominn. Svo má heldur ekki gleyma því að stærðfræðigreiningin er ekki flóknari en að hún er kennd flestum menntaskólanemendum, með misjöfnum árangri að vísu. Það sem fyrrgreindir menn eiga sameiginlegt er að þeir voru uppi í gamla daga og á tímum sem menn þekktu ekki margt það sem nú er kunnugt fjöldanum öllum. Sá sem ætlaði sér núna að kynna diffurreikning yrði að athlægi, en ef hann hefði aldrei þekkt hann áður gæti þetta vel verið frumleg uppgötvun af hans hálfu. Það er reyndar ekki alvitlaust að segja að sérhvert dæmi sem við leysum á eigin spýtur sé uppgötvun okkar á einhverju sem við ekki áður vissum. Þessar uppgötvanir eru auðvitað misstórar og stundum meira í ætt við æfingar en frumleg vísindi, en engu að síður leynist í hverjum þeim sem leysir slíka þraut hæfileikinn til þess að finna eitthvað áður óþekkt. Einn vandi okkar nútímamanna er hve langt jaðar þekkingarinnar hefur teygt sig á flestum sviðum. Það er að segja vandi þess litla hóps sem áhuga hefur á því að auka við þekkingu mannkynsins.

Af tveimur furðufuglum

Þeir sem ætla sér að ná doktorsgráðu verða að sýna fram á hæfileikann til þess að skapa, finna eitthvað nýtt.  En auðvitað háir það nemendum, jafnvel þeim sem stundað hafa háskólanám í  fimm til sjö ár, hve lítið þeir vita. Þess vegna verða menn að taka fyrir eitthvert mjög þröngt svið og leggja hart að sér við athugun á einstöku viðfangsefni innan þess. Þá ná menn að lesa flestar greinar um þetta afmarkaða efni og geta vonandi leyst þá þraut sem þeir hafa sett sér fyrir. Stundum fá menn dygga aðstoð kennara við rannsóknirnar, stundum verða menn að treysta á eigin mátt og megin öðru fremur. Sjálfur var ég heppinn. Kennarinn, sem ég valdi sem leiðbeinanda, hafði stundað rannsóknir á sviði aðgerðagreiningar sem ég taldi mjög áhugavert fag. Það uppfyllti skilyrði um að hafa fræðilega möguleika til hagnýtingar en var jafnframt nýleg grein. Því var líklegt að mörg vandamál á þessu sviði væru innan seilingar, jafnvel fyrir unga stærðfræðinga. Prófessorinn var að vísu latur en kinkaði kolli þegar ég sagði honum frá því á hvaða sviði ég vildi vinna og benti mér á lesefni. Eftir það vann ég að mestu einn og sér. Það fór ekki hjá því að maður bæri mikla virðingu fyrir þeim sem á undan manni höfðu lokið sambærilegu prófi. Þess vegna var það ólýsanleg uppörvun þegar ég fann dæmi sem ég hafði leyst á einu kvöldi var uppistaðan í heilum kafla í nokkurra ára gamalli doktorsritgerð sem ég gluggaði í. Þar með var ég viss um að ég gæti lokið ritgerðinni, því að fyrir mér hafði verkefnið verið óleyst þraut, þótt auðvitað kæmist það ekki í mína ritgerð.

Ekki held ég að ég hafi átt mér ákveðna fyrirmynd í hópi kennara, en það er víst að ég bar mikla virðingu fyrir þekkingu þeirra. Á ári hverju var gefinn út bæklingur um rannsóknir þeirra og þar var listi yfir greinar og bækur sem þeir höfðu gefið út. Einn skar sig úr fyrir afköst, skrifaði á milli tíu og tuttugu og fimm greinar á ári hverju, ekki einn að vísu, en oft sem aðalhöfundur. Þessi maður vakti athygli mína því að hann var smávaxinn og með stutt rytjulegt skegg og virtist oft vera úti á þekju á göngum tölfræðideildarinnar. Annars árs nemendur gátu tekið námskeið í fræðum sem Prochan, en það heitir þessi prófessor, kenndi. Kennslubókin var eftir hann og félaga hans, Barlow. Prochan var skemmtilegur kennari en afar sérstæður. Hann átti við þunglyndi að stríða og kona hans sat yfirleitt inni í tímum hjá honum, væntanlega til þess að geta komið honum til hjálpar ef yfir hann þyrmdi, sem aldrei gerðist svo ég viti. Prochan var talinn einhver mesti vísindamaður við háskólann og fékk hæst laun allra prófessora, hærri en sjálfur Dirac, sem var Nóbelsverðlaunahafi í eðlisfræði og  í röð fremstu hugsuða á 20. öldinni. En útlitið getur verið blekkjandi. Prochan sagði okkur frá því að hann hefði stundum farið í sund í laug við fjölbýlishús skammt frá þar sem hann byggi. Einn daginn var þar fyrir húsvörður og spurði Prochan hvort hann byggi í blokkinni sem laugina átti. Hann kvað nei við, en sagðist búa í nágrenninu og spurði hvort það væri ekki í lagi að hann stingi sér í laugina öðru hverju. Húvörðurinn virti hann fyrir sér og hugsaði með sér að líklega væri þetta meinlaus vesalingur og sagði: „Jú, það er í lagi að þú notir laugina ef þú tínir upp dósir og rusl í kringum hana þegar þú kemur.“ Og þetta lét Prochan sér vel líka.
Víkjum aftur að kennslubók Barlows og Prochans. Það vakti athygli mína að fyrstu kaflarnir voru afar aðgengilegir, einhver hefði sagt auðveldir. Kannski hefði það ekki verið í frásögur færandi nema af því að þeir voru byggðir á greinum sem birst höfðu í vísindatímaritum fyrir innan við 20 árum. Sams konar kafla má nú sjá í flestum kennslubókum í aðgerðagreiningu fyrir byrjendur, meðal annars í Háskóla Íslands. Skýringin er sú að áreiðanleiki eða reliability theory hafði ekki orðið til fyrr en í kringum 1960, einfaldlega vegna þess að vandamálin sem við var að fást eru tengd tækniöld, flóknum kerfum og tækjum. Prochan og félagar hans höfðu unnið hjá flugvélaverksmiðju og vantaði stærðfræðitól til þess að fást við vandamálin sem upp komu. Upp spratt ný fræðigrein. Og vegna þess að þeir höfðu verið á réttum stað á réttum tíma þá urðu þeir frumkvöðlar á þessu sviði.

Eftir að ég hafði kynnst Prochan hafði ég mikinn áhuga á því að sjá Barlow félaga hans. Þegar hann var auglýstur sem fyrirlesari lét ég mig ekki vanta.  Og hann sveik ekki. Hafi Prochan minnt á Dustin Hoffman í hlutverki flækingsins þá var Barlow eins og Jerry Lewis. Hallærislegari mann var varla hægt að hugsa sér, í skræpóttum amerískum jakka með prófessorsleg gleraugu. En aftur mátti ekki láta útlitið blekkja sig. Þetta var maður sem vissi hvað hann söng á sínu sviði.

Þessi saga um þessa hugsuði er ekki hugsuð þeim til minnkunar heldur til þess að sýna fram á að menn geta enn þann dag í dag lagt ýmislegt af mörkum án þess að vera nein ofurmenni, þótt auðvitað þurfi menn bæði að vera heppnir og svolítið klókir.

Getum við eitthvað líka?

Ætla mætti að höfundur þessarar greinar hefði notað sér þessan lærdóm sér til framdráttar og óhikað lagst í rannsóknir í æðri stærðfræði. Og svo var reyndar í tæpt ár að doktorsprófi loknu. Nokkrar greinar urðu til og spannst ein af annarri.  Sumar voru birtar í vísindaritum en sú sem ég var ánægðastur með birtist þó aldrei. Í henni hafði ég sýnt fram á að höfundur að virtu uppsláttarriti í stærðfræði hefði bæði misskilið grein sem hann vitnaði í, blandað saman tveimur niðurstöðum og loks væri sú aðferð sem hann beitti ekki jafngóð annarri sem ég stakk upp á. Greininni var hafnað með orðalagi sem ljóslega bar það með sér að það var höfundur uppsláttarritsins sem hafði fengið hana til dæmingar. Þar lærði ég því að í vísindagreinum verða menn að gæta hófs og nota diplómatískt orðfæri. Gömlu jálkarnir láta ekkert valta yfir sig. En þetta var ekki ástæðan fyrir því að stærðfræðirannsóknir urðu ekki ævistarfið. Áhugamálin og íslenskur raunveruleiki beindu huganum á aðrar brautir. En ekki er þar með sagt að rannsóknarárið hafi ekki verið gott veganesti. Það var mikils virði að vita hvernig menn skapa eitthvað nýtt og ekki minna um vert að hafa gert það, þótt ekki væri það tímamótamarkandi. Einmitt þetta hefur líklega orðið til þess að draga úr ótta við að spyrja spurninga sem maður hefur ekki hugmynd um svar við. Viðurkenna óhræddur að það er margt sem maður ekki veit, en hafa samt þor til þess að leggja til atlögu við vandann. Og það sem mest er um vert: Taka það ekki sem stóráfall þótt lausn finnist ekki í hvert einasta sinn.